Название: Вычисление обратной матрицы
Вид работы: реферат
Рубрика: Математика
Размер файла: 64.56 Kb
Скачать файл: referat.me-217907.docx
Краткое описание работы: Рассмотрим квадратную матрицу Квадратная матрица называется невырожденной , или неособенной , если её определитель отличен от нуля и вырожденной , или
Вычисление обратной матрицы
Вычисление обратной матрицы.
Рассмотрим квадратную матрицу
Квадратная матрица А называется невырожденной , или неособенной , если её определитель отличен от нуля и вырожденной , или особенной , если её определитель равен нулю.
Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение
АВ= ВА=Е ,
где Е – единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.
Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был отличен от нуля.
Матрица, обратная к А , обозначается через А-1 , так что В= А-1 . Для матрицы А обратная ей матрица А-1 определяется однозначно.
Справедливы следующие равенства:
1) D (А-1 )=( D А)-1 ;
2) (А-1 )-1 =А ;
3) (А1 А2 )-1 =А2 -1 А1 -1 ;
4) (АТ )-1 =(А-1 )Т .
Существую несколько способов нахождения обратной матрицы. Рассмотрим один из них – нахождение обратной матрицы путём вычисления алгебраических дополнений. Заключается он в следующем:
пусть нам дана матрица А , имеющая следующий вид:
Предположим, что D А ¹ 0 . Построим следующую матрицу С следующим образом:
где А ij – алгебраическое дополнение элемента а ij в определителе матрицы А . Очевидно, что для построения матрицы С необходимо сначала заменить элементы матрицы А соответствующими им алгебраическими дополнениями, а затем полученную матрицу транспонировать.
Полученная таким образом матрица С называется присоединённой к матрице А , или союзной с А .
Чтобы получить матрицу А-1 , обратную для матрицы А , необходимо каждый элемент присоединённой матрицы С поделить на D А , т.е. матрица А-1 будет иметь следующий вид:
Пусть матрица А , имеет следующий вид:
Чтобы найти матрицу А-1 , обратную для матрицы А , необходимо:
- вычислить определитель матрицы (D А= -3 );
- найти алгебраические дополнения элементов а ij в определителе матрицы А :
- составить присоединённую матрицу С по формуле (2);
- разделить все элементы матрицы С на D А .
Реализуем вышеизложенный алгоритм нахождения обратной матрицы следующим образом: вначале запишем в редакторе Word присоединенную матрицу С по формуле (2), после чего в программе Excel найдём обратную матрицу А-1 (по формуле (3)) для матрицы А .
1. Включите компьютер.
2. Подождите пока загрузится операционная система Windows , после чего откройте окно Microsoft Word .
3. Вставьте объект Microsoft Equation 3 . 0.
4. Перепишем алгебраические дополнения в формульный редактор. Для этого:
·запишите
алгебраическоедополнение А12
., используя шаблон нижних индексов;
·вставьте шаблон определителя 3-го порядка в формульном редакторе;
·занесите числовые значения определителя в свободные поля;
Повтором предыдущих действий, запишите в редакторе формул дополнения А12 -А44 (см. рис. 8.1)
В качестве вычислительного средства воспользуемся инструментами программы Excel .
5. Откройте окно Microsoft Excel .
6. Перепишите матрицу А и формулу (4) из Word в Excel (см. рис. 8.2).
Рис. 8.1 Рис. 8.2
7. Используя функцию МОПРЕД, которая находится в мастере функций ƒх , посчитаем, чему будут равны все алгебраические дополнения. Для этого:
·активизируйте ячейку
D9;
·выполните нажатие ЛКМ на кнопке ƒх в стандартной панели задач;
·в окне КАТЕГОРИЯ нажатием ЛКМ выберите МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, а в окне ФУНКЦИЯ – МОПРЕД;
·выделите область A6¸C8;
·
|
Аналогичные действия проделайте со всеми остальными алгебраическими дополнениями, не забывая при этом некоторые из них умножать на число (-1). В результате проделанных действий получим: А11 = -45, А12 = 20, А13 =1, А14 =-17, А21 =63, А22 = -31, А23 =1, А24 =25, А31 = -6, А32 =3, А33 =3,33Е-16, А34 = -3, А41 =12, А42 = -5, А43 = -1, А44 =5.
Как вы видите, значение дополнения А33 записано в виде числа с мантиссой. Приведём это число к виду обыкновенной десятичной дроби. Для этого:
· активизируйте ячейку L17, после чего нажатие ПКМ;
· на экране компьютера появится контекстное меню;
· выполните нажатие ЛКМ на слове ФОРМАТ ЯЧЕЕК (рис. 8.4);
|

Рис. 8.4
·после появления диалогового окна ФОРМАТ ЯЧЕЕК в окне ЧИСЛОВЫЕ ФОРМАТЫ нажмите ЛКМ
на ДРОБНЫЙ, а в окне ТИП – на ПРОСТЫЕ ДРОБИ (рис. 8.5);
·выполните нажатие ЛКМ
на кнопке ОК
.
После чего алгебраическое дополнение А33
=0 см. рис. 8.6
-Далее, в тексте задачника, если будут встречаться числа с мантиссой или бесконечные десятичные дроби, то будем пользоваться диалоговым окном ФОРМАТ ЯЧЕЕК, а данную операцию будем обозначать : поменяйте формат ячейки... на ДРОБНЫЙ.
8. Найдём в Excel матрицу А-1 , обратную для А . Для этого:
·заполните ячейки А22¸D26 значениями алгебраических дополнений, используя формулу (2), т.е., в ячейках А23¸D26 записана присоединённая матрица С (рис. 8.7).
Рис. 8.7 Рис. 8.8
·активизируйте ячейку А28 и запишите с клавиатуры в неё формулу: =А23/-3, после чего результат занесите автозаполнением в ячейки В28¸D28; А29¸А31 и В29¸D31 (рис. 8.8).
·Выделите область А28¸D31, после чего поменяйте формат выделенных ячеек на ДРОБНЫЙ (см. рис. 8.9).
Рис. 8.9 Рис. 8.10
9. Проверку проделанных вычислений произведём следующим образом:
·выделите область F28¸I31;
·воспользуйтесь функцией МОБР, которая находится в мастере функций ƒх ( категория – МАТЕМАТИЧЕСКИЕ);
·на клавиатуре одновременно нажмите следующую комбинацию клавиш: Shift + Ctrl + Enter .
В результате чего в ячейках появятся следующие значения (рис. 8.10). Полученные значения доказывают правильность произведённых вычислений.
Задания для самостоятельной работы.
1) | 2 | 2 | -1 | 1 | 1 | -0,5 | 0,5 | -1 | 2) | 3 | 4 | 1 | 2 | 6 1/3 | -4 1/6 | -2 1/3 | 2 5/6 | |||||
4 | 3 | -1 | 2 | ответ: | 1 | 0,5 | -0,5 | 0 | 3 | 5 | 3 | 5 | ответ: | -5 | 3,5 | 2 | -2,5 | |||||
8 | 5 | -3 | 4 | -1 | 1,5 | -0,5 | 0 | 6 | 8 | 1 | 5 | 2 | -0,5 | -1 | 0,5 | |||||||
3 | 3 | -2 | 2 | -4 | 1,5 | -0,5 | 2 | 3 | 5 | 3 | 7 | 0 | -0,5 | 0 | 0,5 | |||||||
3) | 2 | 3 | 11 | 5 | - 2/7 | 2/7 | 5/7 | - 1/7 | 4) | 2 | -2 | 0 | 1 | 1/4 | 1/6 | 0 | 0 | |||||
1 | 1 | 5 | 2 | ответ: | 1 2/7 | -2 4/5 | 2/7 | - 1/3 | 2 | 3 | 1 | -3 | ответ: | - 1/6 | 0 | 0 | 1/8 | |||||
2 | 1 | 3 | 2 | - 1/7 | 2/3 | - 1/7 | 0 | 3 | 4 | -1 | 2 | 3/8 | - 1/2 | - 1/3 | 1 1/7 | |||||||
1 | 1 | 3 | 4 | - 1/7 | 1/7 | - 1/7 | 3/7 | 1 | 3 | 1 | -1 | 1/8 | - 2/5 | 0 | 4/9 | |||||||
5) | 2 | -2 | 0 | 1 | 1/4 | 1/6 | 0 | 0 | 6) | 2 | 5 | 4 | 1 | 1 | - 1/3 | - 1/2 | 1/7 | |||||
2 | 3 | 1 | -3 | ответ: | - 1/6 | 0 | 0 | 1/8 | 1 | 3 | 2 | 1 | ответ: | - 4/5 | 1 5/7 | 0 | 0 | |||||
3 | 4 | -1 | 2 | 3/8 | - 1/2 | - 1/3 | 1 1/7 | 2 | 10 | 9 | 7 | 5/6 | -2 | 1/5 | 0 | |||||||
1 | 3 | 1 | -1 | 1/8 | - 2/5 | 0 | 4/9 | 3 | 8 | 9 | 20 | - 1/5 | 2/7 | 0 | 0 | |||||||
7) | 1 | 1 | -6 | -4 | - 1/9 | 1/4 | 0 | 0 | 8) | 4 | -3 | 1 | 5 | 1/2 | 0 | - 3/5 | 1/3 | |||||
3 | -1 | -6 | -4 | ответ: | 2/5 | - 1/4 | 0 | 0 | 1 | -2 | -2 | -3 | ответ: | 1/2 | - 2/9 | - 8/9 | 2/5 | |||||
2 | 3 | 9 | 2 | - 1/9 | 0 | 0 | 0 | 3 | -1 | 2 | 0 | - 1/2 | - 1/9 | 1 | - 2/7 | |||||||
3 | 2 | 3 | 8 | 0 | 0 | 0 | 1/9 | 2 | 3 | 2 | -8 | 1/5 | - 1/9 | - 1/4 | 0 | |||||||
9) | 7 | 9 | 4 | 2 | 1 | 0,6 | -2 | 1,4 | 10) | 2 | -1 | -6 | 3 | - 2/9 | 3/8 | 0 | -1 1/6 | |||||
2 | -2 | 1 | 1 | ответ: | 0 | -0,2 | 0 | 0,2 | 7 | -4 | 2 | -15 | ответ: | 0 | 1/4 | - 1/3 | -1 1/6 | |||||
5 | 6 | 3 | 2 | -1 | -0,6 | 3 | -3,4 | 1 | -2 | -4 | 9 | - 2/7 | 1/8 | 0 | - 1/3 | |||||||
2 | 3 | 1 | 1 | -1 | 0 | 1 | 1 | 1 | -1 | 2 | -6 | - 1/8 | 0 | 0 | - 2/7 | |||||||
11) | 6 | 5 | -2 | 4 | 0 | - 1/3 | 3/4 | 3/7 | 12) | 3 | -2 | -5 | 1 | 0 | 1/4 | 2/5 | 0 | |||||
9 | -1 | 4 | -1 | ответ: | 0 | 1/9 | - 1/5 | - 1/5 | 2 | -3 | 1 | 5 | ответ: | - 1/6 | 0 | 3/8 | 1/5 | |||||
3 | 4 | 2 | -2 | - 1/6 | 1 2/7 | -2 1/4 | -1 1/4 | 1 | 2 | 0 | -4 | - 1/7 | 1/6 | 1/9 | 0 | |||||||
3 | -9 | 0 | 2 | 0 | 1 | -2 | -1 | 1 | -1 | -4 | 9 | 0 | 0 | 0 | 1/9 | |||||||
13) | 2 | -3 | 3 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 14) | 1 | 1 | -6 | -4 | - 1/9 | 1/4 | 0 | 0 | |||||
6 | 9 | -2 | -1 | ответ: | 0 | 1/6 | 0 | 0 | 3 | -1 | -6 | -4 | ответ: | 2/5 | - 1/4 | 0 | 0 | |||||
10 | 3 | -3 | -2 | 2/3 | 1/2 | - 1/7 | - 1/3 | 2 | 3 | 9 | 2 | - 1/9 | 0 | 0 | 0 | |||||||
8 | 6 | 1 | 3 | - 1/2 | - 1/2 | 0 | 1/2 | 3 | 2 | 3 | 8 | 0 | 0 | 0 | 1/9 | |||||||
15) | 1 | 2 | 3 | -2 | 0 | 1/9 | 1/6 | 1/9 | ||||||||||||||
2 | -1 | -2 | -3 | ответ: | 1/9 | 0 | 1/9 | - 1/6 | ||||||||||||||
3 | 2 | -1 | 2 | 1/6 | - 1/9 | 0 | 1/9 | |||||||||||||||
2 | -3 | 2 | 1 | - 1/9 | - 1/6 | 1/9 | 0 |
Похожие работы
-
Системы линейных уравнений и неравенств
Основные понятия теории систем уравнений. Метод Гаусса — метод последовательного исключения переменных. Формулы Крамера. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. Теорема Кронекер–Капелли. Совместность систем однородных уравнений.
-
Теорема Лапласа
Теоре?ма Лапла?са — одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера-Симона Лапласа (1749 — 1827), которому приписывают формулирование этой теоремы в 1772 году.
-
Математика матрица
Матрицы Матрица - прямоугольная (в частном случае квадратная) таблица с числами. Матрица m × n - это таблица из m строк и n столбцов. Если m = n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.
-
Матрицы
Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
-
Решение матриц
Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
-
Алгебра матриц. Системы линейных уравнений
Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
-
Основы высшей матиматики
Вычисление определителя 4-го порядка, математическое решение системы методами матрицы, Крамера и Гаусса. Характеристика понятий невырожденной и обратной, транспонированной и присоединенной матрицы, нахождение алгебраических дополнений элементов таблицы.
-
Алгебра матриц
Основные понятия. Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Свойства умножения матриц. Вырожденные и невырожденные матрицы.
-
Кривые второго порядка. Квадратичные формы
Понятие квадратичной формы и способы ее записи. Действительные и недействительные, вырожденные и невырожденные формы, ранг матрицы. Знакоопределенность квадратичных форм, определение ее миноров. Критерии положительной и отрицательной определенностей.
-
Матрицы и определители
Матрицы. Операции над матрицами. Определители. Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).. Ранг матрицы. Обратная матрица.